河床波と流水抵抗の話 - 趣味で計算流砂水理 Computational Sediment Hydraulics for Fun Learning

2025/5/3 芦田・道上の方法に一部誤りがあったため修正しました。

水理計算では粗度係数の設定に悩むことが多くあります。特に非定常計算での設定は難しいです。

実際の計算でも、ピークは観測値と合うがそれ以外では差が生じることがしばしばみられます。

その問題のヒントとなるような既往研究を整理しました。

この記事のポイント

流水抵抗を求めるには河床波の形状が重要である。
河床波が変化する場合はマニングの粗度係数を一定値として取り扱うことができない。
いくつかの手法があるが、現時点では河床波の変化を適切に考慮することは難しい。

motivation
マニング則とEngelund図の関係
岸・黒木の研究とEngelund図の関係
芦田・道上の方法とEngelund図の関係
まとめ
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参考図書
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motivation

過去記事(Manningの粗度係数を再考する - 趣味で計算流砂水理 Computational Sediment Hydraulics for Fun Learning)に少し書きましたが、河床波による流水抵抗に関する既往研究について改めて整理しました。

Engelundによると、流水に対する全せん断力 $\tau_*$ は、摩擦抵抗によるせん断力 $\tau_*^{\prime}$ と形状抵抗によるせん断 $\tau_*^{\prime\prime}$ の和で表すことができる(勾配分割法)。

$\begin{align} \tau_* = \tau_*^{\prime} + \tau_*^{\prime\prime} \end{align}$

さらに、相似則より $\tau_*$ と $\tau_*^{\prime}$ の関係について下図(Engelund図と定義)を示した。この図は、河床波形状によって $\tau_*$ に対する $\tau_*^{\prime}$ が変化することを示している。

その後の研究で $\tau_*$ と $\tau_*^{\prime}$ の関係は径深粒径比 $R/d$ によって変化することが知られている。

そこで、流水抵抗に関する研究であるマニング則、岸・黒木の研究、芦田・道上の方法について同図との比較を行った。

マニング則とEngelund図の関係

Engelund図との比較にあたり、マニング則による $\tau_*^{\prime}$ はEngelundと同様に以下の式を用いた。

$\begin{align} \dfrac{V}{\sqrt{gR^{\prime}i_e}} &= \dfrac{1}{\kappa}\log_e{\dfrac{R^{\prime}}{k_s}} - \dfrac{1}{\kappa} + A_r \\ k_s &= 2d_m \\ \tau_*^{\prime} &= \dfrac{R^{\prime}i_e}{\rho_{sw} d_m} \end{align}$

マニングの粗度係数 $n$ は、0.01,0.02,0.03.0.04の4ケースで、径深粒径比 $R/d$ と粒径 $d$ は以下の組み合わせの4ケースを計算した。

100、10mm
1000、10mm
1000、1mm
10000、1mm

結果は下図のとおりとなっている。

マニング則について考察する。

河床波形状が変化する場合はマニングの粗度係数が一定では $\tau_*$ と $\tau_*^{\prime}$ の関係を表現できない。
dune領域では河床波が変化しなくてもマニングの粗度係数が一定とすると、 $\tau_*$ が1を超えるあたりからEngelund図との差が大きくなる。
flat-bed領域ではマニングの粗度係数を一定として計算可能である。

岸・黒木の研究とEngelund図の関係

岸・黒木の方法では、 $\tau_*$ と $\tau_*^{\prime}$ の関係は $R/d$ の関数として示される。詳細は過去記事：岸・黒木による実験式を修正する - 趣味で計算流砂水理 Computational Sediment Hydraulics for Fun Learning参照

$R/d$ は100,1000,10000の3ケースを図化した。

岸・黒木の方法は、Engelund図が省略しているtransition領域をモデル化している。
$R/d$ によって河床波形態が遷移する掃流力が異なることを示しているが、 $R/d$ が10000ではEngelund図と大きく乖離している。私の経験上もこの辺りは岸・黒木の方法の課題と感じる。

芦田・道上の方法とEngelund図の関係

掃流砂量式の芦田・道上式における有効掃流力を $\tau_*^{\prime}$ として取り扱う方法を芦田・道上の方法と呼ぶ。

計算式は次のとおりである。

$\begin{align} \dfrac{V}{u^{\prime}_{*}} &= \dfrac{1}{\kappa}\log_e{\dfrac{R}{k_s}} - \dfrac{1}{\kappa} + A_r \\ k_s &= d_m(1+2\tau_*) \\ \tau_*^{\prime} &= \dfrac{{u^{\prime}_*}^2}{\rho_{sw}g d_m} \end{align}$