Rouse分布とLane-Kalinske分布を比較する - 趣味で計算流砂水理 Computational Sediment Hydraulics for Fun Learning

Rouse分布の近似式であるLane-Kalinske分布って結構荒っぽくないかなと昔から気になっていたので検証してみました。

ついでに式の導出も手書きしか無かったのでTeXにまとめておきました。

土砂濃度の鉛直分布の導出
2式の比較
- 濃度分布の比較
- 水深平均濃度の比較
  - 水深平均濃度式の導出
  - 比較
まとめ
参考文献

土砂濃度の鉛直分布の導出

基本的な考え方

浮遊砂の濃度 $C$ の移流拡散方程式は次のようになる。

$\begin{align} \dfrac{\partial C}{\partial t} + u\dfrac{\partial C}{\partial x} + v\dfrac{\partial C}{\partial y} + w\dfrac{\partial C}{\partial z} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \epsilon_{sx} \dfrac{\partial C}{\partial x} \right) + \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \epsilon_{sy} \dfrac{\partial C}{\partial y} \right) + \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \epsilon_{sz} \dfrac{\partial C}{\partial z} \right) + w_0 \dfrac{\partial C}{\partial z} \end{align}$

定常、等流、平衡場を考えて、 $\partial C /\partial x = \partial C /\partial y = 0$ と $v=w=0$ を与えると上式は以下のようになる。

$\begin{align} \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \epsilon_{sz} \dfrac{\partial C}{\partial z} \right) + w_0 \dfrac{\partial C}{\partial z} = 0 \end{align}$

上式を河床から水面まで積分する。両者の条件より積分定数は0となる（詳細は省略）。

$\begin{align} \epsilon_{sz} \dfrac{\partial C}{\partial z} + w_0 C = 0 \end{align}$

さらに上式を変数分離形にして基準点の高さ $a$ から水面まで積分する。

$\begin{align} \int \dfrac{d C}{C} dz = \int \dfrac{-w_0}{\epsilon_{sz}} dz \end{align}$

基準点の高さ $a$ の濃度を $C_a$ として整理すると次式が導かれる。

$\begin{align} \dfrac{C}{C_a} = \mathrm{exp} \left( - \int^z_a \dfrac{w_0}{\epsilon_{sz}} dz \right) \end{align}$

Rouse分布

せん断力の河床から水面までの分布は次式となる。

$\begin{align} \tau = \tau_0 \left(1-\dfrac{z}{h}\right) \end{align}$

乱流のせん断応力は次式で示される。( $\nu \gg \epsilon_{z}$ のため、 $\nu$ は無視する)

$\begin{align} \tau = \rho \epsilon_{z} \dfrac{d u}{d z} \end{align}$

2式の釣り合いより

$\begin{align} \epsilon_{z} = \dfrac{ u_*^2 \left(1-\dfrac{z}{h}\right)}{\dfrac{d u}{d z}} \end{align}$

対数則の微分（対数則の元）は、

$\begin{align} \dfrac{du}{dz} = \dfrac{u_*}{\kappa z} \end{align}$

のため、 $\epsilon_{z}$ は、

$\begin{align} \epsilon_{z} = u_* \kappa z \left(1-\dfrac{z}{h}\right) \end{align}$

となる。 $\epsilon_{sz}$ は $\epsilon_{z}$ に比例するとして、 $\epsilon_{sz}=\beta \epsilon_{z}$ と定義し、前述の濃度分布式に代入したものがRouse分布である。

$\begin{align} \dfrac{C}{C_a} &= \left( \dfrac{h-z}{z} \dfrac{a}{h-a} \right)^{\dfrac{w_0}{\beta \kappa u_*}} % Z &= \dfrac{w_0}{\beta \kappa u_*} \end{align}$

ここに、 $\kappa$ :カルマン定数, $a$ :基準面の河床から高さ( $=0.05h$ ), $\beta$ :土砂の拡散係数と水の渦動粘性係数の比（ $\epsilon_s/\epsilon$ ）である。

参考：式展開

$\begin{align} \dfrac{C}{C_a} = \mathrm{exp} \left( - \int^z_a \dfrac{w_0}{ \beta u_* \kappa z \left(1-\dfrac{z}{h}\right)} dz \right) \end{align}$

$t = \dfrac{h-z}{z}, \dfrac{dt}{dx} = - \dfrac{h}{z^2}$ として、置換積分を行う。

$\begin{align} \dfrac{C}{C_a} &= \mathrm{exp} \left( \dfrac{w_0}{ \beta u_* \kappa } \int^z_a \dfrac{1}{t} dt \right) \\ &= \mathrm{exp} \left( \dfrac{w_0}{ \beta u_* \kappa } \left[\log_e{ \left( \dfrac{h-z}{z} \right)} \right]^z_a \right) \\ &= \left( \dfrac{h-z}{z} \dfrac{a}{h-a} \right)^{\dfrac{w_0}{\beta \kappa u_*}} \end{align}$

Lane-Kalinske分布

Rouse分布で用いた次の $\epsilon_{z}$ の代用として水深平均した $\overline{\epsilon_{z}}$ を用いる。

$\begin{align} \epsilon_{z} = u_* \kappa z \left(1-\dfrac{z}{h}\right) \end{align}$

$\overline{\epsilon_{z}}$ は次のようになる。

$\begin{align} \overline{\epsilon_{z}} = \dfrac{1}{h} \int^h_0 u_* \kappa z \left(1-\dfrac{z}{h}\right) dz = \dfrac{1}{6} \kappa u_* h \end{align}$

この式を用いてRouse分布と同様に式展開を行うと次のLane-Kalinske分布が得られる。

$\begin{align} \dfrac{C}{C_a} &= \mathrm{exp} \left( -6\dfrac{w_0}{\beta \kappa u_*} \dfrac{z-a}{h} \right) % Z &= \dfrac{w_0}{\beta \kappa u_*} \end{align}$

本式はRouse分布の近似式といえる。

2式の比較

濃度分布の比較

以下の条件下で2式の比較を行う。

河道条件：水深5.0m、河床勾配1/1000、粒径は0.1m、0.5mm、2mmの3ケース
基準面濃度式:板倉・岸の式
沈降速度式：Rubeyの式

両式を図化すると以下のようになる。

Lane-Kalinske分布はあくまでも近似式なのでRouse分布が基本となる。 Lane-Kalinske分布は次項に示す水深平均濃度の算出に数値計算ではよく使用されるが、 Rouse分布との差は、特に鉛直方向に分布を持つ場合に結構大きいと思う。

水深平均濃度の比較

水深平均濃度式の導出

Rouse分布は積分できないため、Lane-Kalinske分布を使用して水深平均濃度の計算式を導出する。Lane-Kalinske分布による水深平均濃度は次のとおりとなる。

$\begin{align} \overline{C} &= \dfrac{1}{h} \int^h_{0} C \, dz \\ &= \dfrac{1}{h} \int^h_{0} C_a \mathrm{exp} \left( -6\dfrac{w_0}{\beta \kappa u_*} \dfrac{z-a}{h} \right) \, dz \\ &= \dfrac{C_a}{h} \dfrac{\beta \kappa u_* h}{6 w_0} \left[1 - \mathrm{exp}\left(-\dfrac{6 w_0}{\beta \kappa u_* h}h\right) \right] \\ \end{align}$

さらに、

$\begin{align} \epsilon_s &= \beta \epsilon \\ \epsilon &= \dfrac{\kappa u_* h}{6} \end{align}$

として式変形を行うと、次のとおりよく使用される式形になる。

$\begin{align} \overline{C} &= C_a \dfrac{\epsilon_s}{h w_0} \left[1 - \mathrm{exp}\left(-\dfrac{h w_0}{\epsilon_s} \right) \right] \end{align}$

河川流は浅水流近似で取り扱うことが多いため本式は多用される。

比較

以下の3つの方法による水深平均濃度の比較を行う。

上式Lane-Kalinske分布の積分式
Lane-Kalinske分布の数値積分
Rouse分布の数値積分

計算条件は前述の濃度分布の比較と同様とする。また、数値積分は相対水深の5%から100%まで95分割して計算する。

計算したは、水深平均土砂濃度(ppm)は次のとおりである。

粒径	Lane-Kalinske:水深平均	Lane-Kalinske:数値積分	Rouse:数値積分
0.1mm	25375.833528263323	24489.938287379184	23800.833750921876
0.5mm	670.4528478433683	682.3398848314391	513.0807965609013
2mm	11.852228352927673	12.45126260315744	6.631464513654046