安定河道の自動設計をやりたい - 趣味で計算流砂水理 Computational Sediment Hydraulics for Fun Learning

前回の記事で椿先生の本¹を参照してときに、ペラペラのめくっていると安定河道の話があったのでそれを元に考えてみました。

河道の安定条件のモデル化

簡単のため、一次元の不等流場、断面形状は矩形断面を想定する。また、河床材料は単一粒径で掃流運動のみを考える。

河道が安定、つまり動的平衡状態であることは、各断面を通過する流砂量 $Q_b$ が縦断方向で一定となることを示している。

流砂量式の一般形を次のように定義する。

$\begin{align} q_{b*} &= \alpha \tau_*^{\beta} = \alpha \left( \dfrac{h i_e}{\rho_{s}d} \right)^{\beta} \end{align}$

エネルギー勾配はマニング則を適用すると次式となる。

$\begin{align} i_e &= \left( \dfrac{Qn}{Bh^{5/3}} \right)^2 \end{align}$

これらの式を用いると、断面積分した流砂量 $Q_b$ は次のように示される。

$\begin{align} Q_b &= B q_{b} = B \sqrt{\rho_s g d^3}q_{b*} \\ & = B^{1-2\beta} h^{-7\beta/3} \alpha \rho_s^{0.5-\beta} g^{0.5} d^{1.5-\beta} Q^{2\beta}n^{2\beta} \end{align}$

マニングの粗度係数が縦断方向に変化がないとすると、上式より各断面の流砂量が一定であることは $B^{1-2\beta} h^{-7\beta/3}$ が一定であることがわかる。

安定河道の河床高、川幅の計算方法

不等流計算の基礎式は次式である。

$\begin{align} \dfrac{d }{dx}\left( \dfrac{Q^2}{2gh^2B^2} + h + z_b \right) &= i_e \end{align}$

川幅が既知の場合は、安定河道を考慮した縦断的な河床高は、上式を変形した次式で示される。

$\begin{align} -\dfrac{d z_b}{dx} = \dfrac{d }{dx} \left( \dfrac{Q^2}{2gh^2B^2} + h \right) - i_e \end{align}$

水深は前項の安定条件より川幅のみの関数で示される。よって、本式を逐次計算することにより安定河道の河床高が計算できる。

次に、河床高が既知である場合、縦断的な川幅を示す式は次のように示される。

$\begin{align} \dfrac{d B}{dx} = \dfrac{\left(1 - \dfrac{Q^2}{gh^3B^2} \right)\dfrac{d h}{dx} + \dfrac{d z_b}{dx} - i_e }{\dfrac{Q^2}{gh^2B^3}} \end{align}$